鳥が電線で感電しない理由を計算で確かめてみる

こんにちは。
今回は鳥が電線で感電しない理由を解説します。
他のサイトでもよく取り上げられる内容ですが、実際に計算して確かめた例はあまり見受けられなかったのでやってみます。
結果を一言で言えば「両脚間の電位差が非常に小さいから、身体に流れる電流も非常に小さくなるため」となるのですが、詳しく見ていきましょう。

交流電圧の波長
両脚間の電位差
まとめ

交流電圧の波長

まずは交流電圧の波長を求めましょう。
振幅を $V_0$ 、波数を $k$ 、角周波数を $\omega$ 、位置を $x$ 、時間を $t$ とすると交流電圧 $V(t)$ は
$V(t)=V_0 e^{i(kx- \omega t)}$
と表されます。電気はほぼ光速で移動しますから、光速を $c$ とすると波数と角周波数の分散関係から
$k=\displaystyle \frac{\omega}{c}$
となります。波長を $\lambda$ 、周波数を $f$ とすると
$\displaystyle \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi f}{c}$
$\displaystyle \lambda = \frac{c}{f}$
となります。日本の交流電圧の周波数は50Hzないし60Hzですから、光速を秒速約30万kmとすると交流電圧の波長は約6000km(50Hz)ないし5000km(60Hz)となります。

両脚間の電位差

次に鳥の両脚間の電位差を求めましょう。
両脚の間隔を $d$ とすると、位置 $x$ にいる鳥の両脚間の電位差 $\Delta V$ は
$\Delta V =V_0 e^{i(k(x+d/2)- \omega t)} -V_0 e^{i(k(x-d/2)- \omega t)}$
$=V_0 e^{i(kx- \omega t)} (e^{i \frac{kd}{2}}-e^{-i \frac{kd}{2}})$
$=2 V_0 e^{i(kx- \omega t)} \sin{\frac{kd}{2}}$
となります。
ここで高圧電源の場合( $V_0 =6600$ V)を考えてみます。 $d=1$ cmとすると
$\sin{\frac{kd}{2}}= \sin{\frac{\pi d}{\lambda}}$
となり、この値を計算すると $9.1 \times 10^{-11}$ (50 Hz)ないし $1.1\times 10^{-10}$ (60 Hz)となります。
したがって両脚間の電位差の最大値は $1.2 \times 10^{-6}$ V (50 Hz)ないし $1.4 \times 10^{-6}$ V (60 Hz)となります。
これだけ電位差が小さければ余程抵抗値が低くない限り大きな電流は流れないでしょう。鳥の体でも感電しないのは当然と言えます。